Российский математик доказал теорему, которую не могли решить 40 лет
Российский математик и его израильский коллега доказали многомерную версию "теоремы о дощечках", постулирующей, что круг можно полностью покрыть полосками, совокупная ширина которых не превышает длины его окружности. Доказательство было опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis.
"Задача Ласло Фейеша Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией, уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Она навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещенными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трехмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра", — рассказывает Александр Полянский, математик из Московского физтеха в Долгопрудном.
Эта теорема, как отмечает ученый, является важнейшей частью так называемой дискретной геометрии – особого раздела математики, который изучает, как соотносятся друг с другом геометрические фигуры. К примеру, она позволяет ответить, какое наибольшее число шаров одинакового размера можно разместить вокруг одного такого же шара. Многие подобные задачи имеют важное практическое значение, так как напрямую связаны с проблемами в IT, физике и химии.
Одна из главных задач, которую изучают представители этой области математики, — так называемая "теорема о дощечках", сформулированная еще в начале XX века. В самом простом виде она гласит, что круг любых размеров невозможно покрыть дощечками, чья общая ширина меньше диаметра самой окружности. Простые варианты этой задачи, как пишут Полянский и его коллега Цзылинь Цзян, более 50 лет назад решили Альфред Тарский и Трегер Банг.
Более сложную версию теоремы выдвинул в 1973 году венгерский математик Ласло Фейеш Тот, который предположил, что сферическую поверхность любых размеров можно покрыть произвольным набором трехмерных "дощечек", чья общая толщина не превысит длину окружности.
Авторам статьи, опиравшимся на идеи, которые использовал Трегер Банг для доказательства первой многомерной версии "теоремы о дощечках", удалось не только решить задачу Фейеша Тота, но и показать, что она будет работать и в многомерном пространстве.
Российский и израильский математики, как и Банг, шли в своем доказательстве от противного: они предположили, что суммарная ширина "дощечек", полностью покрывающих сферу, будет меньше длины окружности, и хотели получить противоречие в виде точки, которая лежала бы на сфере, но не была покрыта зонами.
Подобные противоречия были найдены, что доказало справедливость идей венгерского математика. Как считают исследователи, их доказательство ускорит развитие дискретной геометрии и позволит сформулировать ряд новых математических и практических задач, связанных с "теоремой о дощечках".